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42、求解题,求证题

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  • 42、求解题,求证题

我们将这两类问题进行比较。

(1)“求解题”的目的是找出某个对象,即问题的未知数。

未知数在拉丁文中称为“quaesitum”,或要找的东西,或需求的东西。 “求解题”可以是理论的或实际的,抽象的或具体的,严肃的问题或仅仅是谜 语。我们可以寻求各种各样的未知数。我们可以尝试去发现、得到、获取、产 生、或者构造所有各种各样想象得到的对象。在侦探小说里,未知数是个凶手; 在下棋问题中,未知数是棋手的下一步棋。在某些初等代数问题中,未知数是 一个数。在一个几何作图问题中,未知数是一个图形。

(2)“求证题”的目的是最终说明某个清晰陈述的推断是成立还是不成立。 我们必须回答这问题:这推断是成立还是不成立?并且我们必须通过证明谈推断 成立或不成立来作出最终的回答。

一个证人肯定,被告某晚是在家的,法官必须查明此断言究竟是真实的还是不真实的。此外,他还必须尽可能地给出充分的理由。这样,法官就有了一个“求证题”。另一个“求证题”是“证明毕达哥拉斯定理”。我们不说“证 明或推翻毕达哥拉斯定理”。从某些方面来说,在问题的陈述中包括推翻的可 能性在内可能更好。但因为我们已知推翻此定理的可能性很小,所以可以略去。

(3)“求解题”的主要部分是:未知数、已知数据与条件。 如果我们必须作一个具有边a,b,c的三角形,则未知数是个三角形,已知数为其三边a,b,c,而三角形要满足条件,即其三边具有给定的长度a,b,c。如果我们必须作一个三角形,它的三个高是a,b,c,则未知数是与上题同一类型的对象,数据也相同,但联系未知数与已知数的条件则不同。

(4)如果一个“求证题”属于通常一类数学问题,则其主要部分是待证或待推翻定理的前提与结论。

“如果四边形的四边相等,则二对角线互相垂直”。在这句话中,从“则”开始的下半句是结论,而以“如果”开始的上半句是前提。

[并非所有的数学定理都能自然地划分成前提与结论两部分。例如,下列定理就几乎不可能这样划分:“质数有无穷多个”。]

(5)如果你希望解一个“求解题”,你必须知道并且十分准确地知道其主 要部分:未知数,已知数与条件。我们的表中有不少关于这些主要部分的问题与建议。

未知数是什么?已如数是什么?条件是什么? 把条件的各个部分分开。 找出已知数与未知数间的联系。

看着未知数!试想出一个具有相同或相似未知数的熟悉的问题。

仅仅保持条件的一部分,而舍去其余部分;这样对于未知数能确定到什么 程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出 适于确定此未知数的其他已知数?如果需要的话你能不能改变未知数或已知数, 或者二者都改变,使得新未如数和新已知数彼此更接近?

你是否利用了所有的已知数?你是否利用了整个条件? (6)如果你想解决一个“求证题”,你必须知道而且非常准确地知道其主要部分,即前提与结论。关于这些主要部分,有些有用的问题与建议与我们表中那些特别适合于“求解题”的问题与建议一一相对应。

前提是什么?结论是什么? 把前提的各个部分分开。 找出前提与结论间的联系。

看着结论!试想出一个具有相同或相似结论的熟悉的定理。

仅仅保持前提的一部分,舍去其余部分;这结论是否仍有效?你能不能从 前提导出某些有用的东西?你能不能想出容易导出此结论的其他前提?如果需要 的话,你能不能改变前提,或改变结论,或者二者都改变,使得新前提和新结 论彼此更接近?

你是否利用了整个前提? (7)在初等数学中,“求解题”更重要,在高等数学中,“求证题”更重要。本书比较着重“求解题”。作者希望在有关本论题的一部更详尽的著作中

重新对这两类问题作平衡处理。