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1.类比

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  • 1.类比

类比就是一种相似。相似的对象在某个方面彼此一致,类比的对象则其相应部分在臬些关系上相似:

(1)长方形可与长方体类比。事实上,长方形各边之间的关系与长方体各面 之间的关系相似:

长方形的每一边恰与另一边平行,而与其余的边垂直。

长方体的每一面恰与另一面平行,而与其余的面垂直。

让我们把边称为长方形的边界元素,而面称为长方体的边界元素,则前述两个命题可合而为一并可同等地应用于这两个图形:

每一边界元素恰与另一边界元素平行,而与其余的边界元素垂直。

这样,我们就将所比较的两个系统的对象(即长方形的边与长方体的面)的某些共同关系表达出来了。这两个系统的类比存在于关系的共性之中。

(2)在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演方法和最高科学成 就中无不充满了类比。类比可在不同的水平使用。人们常常使用含糊不清的, 夸大的,不完全的或没有完全弄清楚的类比,但类比也可以达到数学精确性的 水平。所有各种类比在发现解答方面都可能起作用,所以我们不应当忽略任何 一种。

(3)在求解一个问题时,如果能成功地发现一个此较简单的类比问题,我们 会认为自己运气不错。在第十五节,我们原来的问题是长方体的对角线,它的 较简单的类比问题就是长方形的对角线,这个类比问题引导我们到达原问题的 解答。我们将讨论这种类型的另一个例子。我们需要求解下列问题:

求均匀四面体的重心。

若不具备积分与物理知识,这问题是很困难的。在阿基米德与伽里略的时 代,它是一个严肃的科学问题。因此,如果我们希望用尽可能少的预备知识来 解决它,我们就应该寻求一个较为简单的类比问题。在平面上的对应问题很自 然地就是下面的问题:

求一均匀三角形的重心。

现在,我们有了两个问题而不是一个问题。但两个问题比起一个问题来可 能还更容易回答——假定这两个问题能巧妙地联系起来的话。

(4)现在我们暂时把原来四面体的问题放在一边,而把注意力集中在有关 三角形这一比较简单的类比问题上。为了求解这个问题,我们必须了解一些关 于重心的知识。下列原理似乎是可信的而且提出它来也很自然:

若一物质系统S由几部分组成,每一部分的重心都位于同一平面上,则该平面也必包含此整个系统S的重心。

对于三角形情况来说,这一原理给出我们所需要的一切。首先,它指出三 角形的重心位于三角形的平面上。于是,我们可以把三角形看成由平行于三角 形某边(图7中边AB)的许多个小条条(薄条条无限窄的平行四边形)所组成。每一 个小条条(平行四边形)的重心显然是它的中心,而所有这些中心位于连线CM上, C为与AB边相对的顶点,M为AB的中点(见图7)。

怎样解题 成长吧啊图7

通过三角形中线CM的任何平面包含有三角形中所有平行小条条的重心。由 此得出结论:整个三角形的重心就在这一中线上。但是,根据同一理由它也必 须在其他二条中线上,所以它必须是所有三根中线的公共交点。

我们现在希望用纯几何方法(与任何力学上的假设无关)来证明三根中线交于同一点。

(5)在弄懂了三角形的例子之后,四面体的情况就相当容易了。因为我们 现在已经解决了一个和我们所提问题有类比关系的问题,所以一旦解决这个类 比问题,我们就有了一个可以照着办的模型。

在解决我们现在用作模型的类比问题中,我们设想三角形是由平行于其一 边AB的平行小条条所组成的。现在我们设想四面体ABCD也由平行于其一棱AB的 小条条所组成。

组成三角形的小条条之中点全部位于同一直线上,即位于连接边AB的中点 M与相对顶点C的那根三角形中线上。组成四面体的小条条的中点全部位于连接 棱AB的中点M与对棱CD(见图8)的同一平面上;我们不妨将此平面MCD称为四面体 的中面。

怎样解题 成长吧啊图8

在三角形情况下,我们有象MC那样的三根中线,其中每一根都必须包含三 角形的重心。因此,这三根中线必须交于一点,这一点就是重心。在四面体情 况下,我们有象MCD那样的六个中面(连接一条棱中点与其对棱的平面),其中每 个中面都必定包含四面体的重心。因此,这六个中面必交于一点,这一点就是 重心。

(6)这样,我们就解决了均匀四面体的重心问题。为了完成这个求解过程,现在我们需要用纯几何(与力学上的考虑无关)来证明六个中面通过同一点。

当我们解决了均匀三角形的重心问题以后,我们发现,为了完成求解过程, 需要证明三角形的三条中线通过同一点。这个问题可类比于上述问题,但显然 较为简单。

在解决四面体这一问题时,我们又可利用较简单的三角形类比问题(这里,我们假定它已经解决了)。事实上,我们考虑通过从D点出发的三条棱DA,DB,DC的三个中面;每一中面同时也通过对棱的中点(通过DC边的中面经过中点M, 见图8)。现在,这三个中面和△ABC所在平面交于该三角形的三个中线。这三条 中线交于一点(这是前面较简单的类比问题的结果),而这点和D点一样,也是三 中面的公共点。连结这二个公共点的直线是所有三个中面的公共线。

我们证明了六个中面中通过顶点D的三个中面有一条公共直线。对于通过 顶点A的三个中面,同样也成立;对于经过顶点B的三中面以及经过顶点C的三中 面也是如此。把这些事实适当地联系起来,我们就可证明这六个中面有一个公 共点(通过△ABC三边的三中面确定一公共点和交于此点的三交线。于是,根据 我们刚才证明的,通过每一交线,一定还有一个中面)。

(7)在上述(5)和(6)中,我们都利用了一个三角形的较为简单的类比问题 去解决四面体问题。但从一个重要方面来看,(5)和(6)两种情况是不相同的。 在(5)中,我们是利用较简单的类比问题这一方法,逐点模仿它来求解。但在(6) 中,我们则是利用了较简单的类比问题所得的结果,我们并不关心这结果是怎 样得到的。有时,我们可能同时利用较简单的类比问题的方法及其结果。如果 我们把上述(5)和(6)看成是同一个问题求解的两个不同部分,则上述例子就是 同时利用类比问题的方法及结果的。

我们这个例子是典型的。在求解所提出的问题的过程中,我们经常可以利 用一个较简单的类比问题的解答;我们可能利用它的方法或者可能利用它的结 果,或者可能三者同时利用。当然,在更困难的问题中,可能会出现我们这个 例子中尚未出现过的复杂情况。特别是,可能发生下述情况:类比问题的解不 能直接用于我们原来的问题上。那时,可能需要我们去重新考虑解答,去改变 它,修改它,直到我们在试过解答的各种形式以后,终于找到一个可拓广到我 们原来的问题为止。

(8)我们希望能预测结果,或者,至少在某种似乎可信的程度上预测到结果的某些特征。这种似乎可信的预测通常是以类比为基础的。

这样,我们可能知道,均匀三角形的重心及其三个顶点的重心重合(即, 三个质量相同的质点放在三角形的三个顶点上)。了解这点以后,我们可以猜测 均匀四面体的重心与其四个顶点的重心相重合。

这种猜测是一种“类比推论”。已知三角形和四面体在许多方面相似,我 们就猜测它们在其他某一个方面也是相似的。如果把这种猜测的似真性当作肯 定性,那将是愚蠢的。但是忽视这种似真的猜测将是同样愚蠢甚至更为愚蠢的。

类比推论看来是最普通的一种推论,并且可能是最主要的一种。它产生了 多少似乎可信的推测,这种推测可能被经验和更严格的论证加以证实或推翻。 为了预测药物对人类的影响,化学家在动物身上进行试验,再由类比得出结论。 甚至我认识的一个小男孩也这么做。他的小狗需要到兽医那儿去医疗,于是他 问:

“谁是兽医” “动物的医生。”

“哪种动物是动物的医生?”

(9)得自许多类似情况的类比结论比得自较少情况的类比结论要强。但是 这里质量仍然比数量更为重要。清晰的类比较模糊的相似更有价值,安排有序 的例子比随意收集的情况更能说明问题。

前面【上述(8)】我们提出了一个关于四面体重心的猜测。这猜测就是根 据类比而提出的;四面体的情况类比于三角形的情况。通过考察另一个类比的 例子,均匀棒(即均匀密度的直线段)的例子,我们可以增加对猜测的认识。

存在于

线段    三角形    四面体

之间的类比有许多方面。

线段包含在直线上,三角形在平面上,四面体在空间 中。直线段是最简单的一维有界图形,三角形是最简单的多边形,四面体是最 简单的多面体。

线段有两个零维边界元素(2端点)而其内部是一维的。

三角形有三个零维及三个一维边界元素(三顶点,三边),而其内部是二维的。

四面体有四个零维,六个一维,四个二维边界元素(四顶点,六边,四面), 而其内部是三维的。

这些数字可以列成一个表如下,其中各列分别表示零维,一维,二维与三 维元素的数目,各行分别表示线段,三角形与四面体的数目:

 

 

零维

一维

二维

三维

线段

2

1

 

 

三角形

3

3

1

 

四面体

4

6

4

1

 

只须对二项式展开有稍许的了解,便可认出这些数字是巴斯卡三角形中的一部分。我们在线段、三角形和四面体中找出了一个值得注意的规则性。

(10)如果我们已经体会到我们所比较的对象是有密切联系的,则下列“类比推论”对于我们可能有某些价值。

均匀捧的重心与其两端点的重心相重合。均匀三角形的重心与其三顶点的 重心相重合。为什么我们不应该设想均匀四面体的重心与其四顶点的重心相重 合呢?

还有,均匀捧的重心按比例1:1来划分其端点间的距离。均匀三角形的重 心按比例2:1来划分任何顶点与其对边中点间的距离。为什么我们不应该猜测 均匀四面体的重心是按比例3:1来划分任何顶点与其对面的重心间的距离呢?

说上述问题所提出的猜测是错误的,说这样美妙的一种规律性竟遭破坏, 这点总叫人觉得极不可能。认为和谐的简单秩序不会骗人这样一种感觉,在数 学及其他科学领域中指引着作出发现的人们,并表达为拉丁格言:

简单是真理的标志

[从上面讲的会想到,所讨论的结果可推广到n维。如果对前三维(n=1、2、3)成立而对维数高的n就不再成立,这看来不大可能。这种猜测是一种“归纳推论”;它表明归纳很自然地以类比为基础。参见“归纳与数学归纳法”一节。

[(11)在结束本节以前,我们简单地考虑一类最重要的情况:在这类情况下,类比这一数学概念变得更精确了]。

(I)两个数学对象系统设为S和S',是这样相互联系的: S的对象之间的某些关系和S'的对象之间的某些关系遵循同一法则。

在S和S'间的这种类比可以用上述(1)中所讨论的内容为例说明之;把长方形的边作为S,把长方体的面作为S'。

(II)在两个系统S与S'的对象之间存在一一对应,即保持某种关系。也就 是说,如果一个系统的对象之间保持这样一种关系,则在另一系统的对应对象 之间也保持同一关系。在两个系统中的这种联系是一种非常精确的类比;它称 为同构。

(III)在两个系统S与S’的对象之间存在一对多的对应而保持某种关系(这 在高等数学研究的各分支中,特别在群论中很重要,这里不多赘言)。这种情况 称为同态。同态也可看成另一种非常精确的类比。