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导数的概念

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1.导数(导函数的简称)的定义:设 `x_0` 是函数 `y=f(x)` 定义域的一点,如果自变量 `x ` 在 `x_0 ` 处有增量 `\Delta x`,则函数值 `y` 也引起相应的增量 `\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)`;

比值 $$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$称为函数 `y=f(x)` 在点 `x_0` 到 `x_0+\Delta x` 之间的平均变化率;

如 果极限 $$\lim_{x \to x_0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{x \to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}$$ 存在,则称函数 `y=f(x)` 在点 `x_0` 处可导,并把这个极限叫做 `y=f(x)` 在 `x_0` 处的导数,记作 `f'(x_0)\; ` 或 `y^\prime (x_0) 、 \left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0} 、 \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0) 或  \left.\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0} `,即 $$f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} . $$

注意:

① `\Delta x`是增量,我们也称为“改变量”,因为 `\Delta x` 可正,可负,但不为零.

②已知函数 `y=f(x)` 定义域为 `A`, `y=f'(x)` 的定义域为 `B`,则 `A` 与 `B` 关系为 `A\supseteq B`.