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二次根式

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  • 二次根式的概念

定义: 一般地, 式子`\sqrt{a}(a \geqslant 0)` 叫做二次根式. "`\sqrt {~~~\,}` "叫做二次根号, 二次根号下的"`a`"叫做被开方数.

  • 二次根式的意义

二次根式 `\sqrt{a}(a \geqslant 0)`, 实际上表示非负数`a`的算术平方根, 即`a \geqslant 0`.

  • 二次根式的性质

(1)二次根式`\sqrt a`是一个非负数.

(2)`(\sqrt{a})^2 (a \geqslant 0)`.

  • 二次根式的乘法

积的算术平方根的性质公式`\sqrt {ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a \geqslant 0, b \geqslant 0)`.

二次根式乘法的运算法则: `\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt {ab}(a \geqslant 0, b \geqslant 0)`.

  • 二次根式的除法

(1)商的二次平方根的性质: `\sqrt { \frac {a}{b} }= \frac { \sqrt{a}}{ \sqrt{b}} (a \geqslant 0, b > 0)`.

(2)二次的除法法则: ` \frac { \sqrt{a}}{ \sqrt{b}}= \sqrt { \frac {a}{b} } (a \geqslant 0, b > 0)`, 即两个二次根式相除, 被开方数相除, 根指数不变.

  • 最简二次根式

最简二次根式的两个条件:

(1)被开方数的因数是整数, 因式是正式. 即 被开发数不含分母.

(2)被开方数中不含有开的尽方的因数或因式. 即 被开数中每一个因式的指数都小于`2`, 也就是 因式的指数都是`1`.

  • 二次根式分母有理化

定义: 把分母中的根号化去的方法, 叫分母有理化. 分母有理化的根据是分式的基本性质和二次根式的性质 `\sqrt{a}(a \geqslant 0)`.

有理化因式: 两个含有二次根式的代数式相乘, 如果它们的积不含有二次根式, 就称这两个代数式互为有理化因式.

  • 二次根式的加减法

(1)同类二次根式

定义: 几个二次根式化成同类二次根式以后, 如果被开方数相同, 这几个二次根式就叫做同类二次根式.

(2)合并同类二次根式

合并同类二次根式和合并同类项类似, 把根号外的因式相加, 根指数和被开方数都不变.

例如: `2a \sqrt {a} - 3b \sqrt {a}= (2a-3b) \sqrt {a}`.

(3)二次根式的加减法

二次根式的加减, 就是合并同类二次根式. 一般步骤:

①将每一个二次根式化成最简二次根式;

②找出其中的同类二次根式;

③合并同类二次根式.

  • 二次根式`\sqrt{a^2}`的化简

`\sqrt{a^2}`实际是`a^2`的算术平方根.

由根式的性质得: `\sqrt{a^2}= \left| a \right|= \begin{cases}a (a \geqslant 0) \\-a (a < 0)\end{cases}`.