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高考选修压轴

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21. 本题设有 (1), (2), (3) 三个选考题, 每题 $7$ 分, 请考生任选 $2$ 题作答, 满分 $14$ 分, 如果多做, 则按所做的前两题计分, 作答时, 先用 $2B$ 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑, 并将所选题号填入括号中.  

(1) (本小题满分 $7$ 分) 选修 $4-2$: 矩阵与变换 设矩阵 `M = \left( \begin{gathered}
  a{\kern 1pt} \quad 0  \\
  0\quad b  \\ 
\end{gathered}  \right)`  (其中 $a > 0, b > 0$).   

(I) 若 $a=2$, $b=3$, 求矩阵 $M$ 的逆矩阵 $M^{-1}$;  

(II) 若曲线 $C: x^2+y^2=1$ 在矩阵 $M$ 所对应的线性变换作用下得到曲线 $C':\dfrac{x^2}{4}+{y^2}=1$, 求 $a, b$ 的值.  

(2) (本小题满分 $7$ 分) 选修 $4-4$: 坐标系参数方程 在直角坐标系 $xOy$ 中, 直线 $l$ 的方程为 $x-y+4=0$, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\cos{\alpha}\\y=\sin{\alpha}\end{array}\right.$ ($\alpha$ 为参数).   

(I) 已知在极坐标系 (与直角坐标系 $xOy$ 取相同的长度单位, 且以原点 $O$ 为极点, 以 $x$ 轴正半轴为极轴) 中, 点 $P$ 的极坐标为 $(4, \dfrac{\pi}{2})$, 判断点 $P$ 与直线 $l$ 的位置关系; 

(II) 设点 $Q$ 是曲线 $C$ 上的一个动点, 求它到直线 $l$ 的距离的最小值.  

(3) (本小题满分 $7$ 分) 选修 $4-5$: 不等式选讲 设不等式 $|2x-1| < 1$ 的解集为 $M$.   

(I) 求集合 $M$;  

(II) 若 $a, b\in M$, 试比较 $ab+1$ 与 $a+b$ 的大小.

    来源: 
    2011年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷 理科数学)
    难度: 
    平均: 4 (1 vote)