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高中数学

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20. 在数列 $\{a_n\}$ 中, 若 $a_1,a_2$ 是正整数, 且 $a_n=|a_{n-1}-a{n-2}|$, $n=3, 4, 5 \cdots$, 则称 $\{a_n\}$ 为 "绝对差数列".  (I) 举出一个前五项不为零的 "绝对差数列" (只要求写出前十项); (II) 若 "绝对差数列" $\{a_n\}$ 中, $a_{20}=3$, $a_{21}=0,$ 数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n=a_n+a_{n+1}+a{n+2}$, $n=1, 2, 3\cdots$, 分别判断当 $n \rightarrow \infty$ 时, $a_n$ 与 $b_n$ 的极限是否存在, 如果存在, 求出其极限值;  (III) 证明: 任何 "绝对差数列", 中总含有无穷多个为零的项.

    来源: 
    2006年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷 理科数学)
    难度: 
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