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三角函数

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三角函数图像变换

三角函数图像变换 由函数`y = \sin x`的图像变换为函数`y = A\sin (\omega x + \phi ) + b(A,\omega > 0)`的图像. 方法一:`(x \to x + \phi  \to \omega x + \phi )`先相位变换,后周期变换,再振幅变换. `y = \sin x`的图像 `\dfrac{向右平移\phi个单位(\phi >0)}{向左平移~|\phi|~个单位(\phi <0)}~\to ~~` `y = \sin (x + \phi )`的图像 `\dfrac{向左平移\frac{\phi}{\omega}个单位(\phi >0)}{向左平移~|\frac{\phi}{\omega}|~个单位(\phi <0)}~\to ~~` `y = \sin (\omega x + \phi )`的图像 `\dfrac{所有点的纵坐标变为原来的A倍}{横坐标不变}~~\to~~` `y = A\sin (\omega x + \phi )`的图像 `\dfrac{向上平移~b~个单位(b>0)}{向...
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三角函数的诱导公式

三角函数的诱导公式 诱导公式一 `sin (2k \pi+ \alpha)=sin~ \alpha`,    `cos (2k \pi+ \alpha)=cos~ \alpha`, `tan(2k \pi+ \alpha)=tan~ \alpha`,     `cot( 2k \pi+ \alpha)=cot~ \alpha`, 诱导公式二 `sin ( \pi+ \alpha)=-sin~ \alpha`,   `cos (\pi+ \alpha)=-cos~ \alpha `, `tan ( \pi+ \alpha)=tan~ \alpha`,    `cot ( \pi+ \alpha)=cot~ \alpha`. 诱导公式三 `sin ( - \alpha)=-sin~ \alpha`,    `cos (-\pi+ \alpha)=cos~ \alpha `, `tan ( - \alpha)=-tan~ \alpha`,    `cot ( -\alpha)=-cot~ \alpha`. 诱导公式四 `sin ( \pi-\alpha)=sin~ \alpha`,  ...
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同角三角函数的基本关系

同角三角函数的基本关系 `倒数关系 \begin{cases} sin~ \alpha·csc~ \alpha =1\\ cos~ \alpha·sec~ \alpha =1\\ tan~ \alpha·cot~ \alpha =1 \end{cases}`; `商数关系 \begin{cases} tan~ \alpha =\frac{sin~ \alpha}{cos~ \alpha} \\ ~ \\ cot~ \alpha =\frac{cos~ \alpha}{sin~ \alpha}  \end{cases}`; `平方关系 \begin{cases} sin^2 \alpha +cos^2 \alpha=1 \\1+tan^2 \alpha =sec^2 \alpha \\1+cot^2 \alpha =csc^2 \alpha   \end{cases}`.
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任意角的三角函数

任意角的三角函数 设`\alpha`是一个任意大小的角. 角`\alpha`的终边上任意一点`P`的坐标是`(x,~y)`, 它与原点的距离是`r~(r=\sqrt{x^2+y^2} > 0)`, 那么关于角`\alpha`, 正弦: 比值 `\dfrac{y}{r}` 叫角 `\alpha` 的正弦, 记做 `\sin \alpha`, 即 `\sin~ \alpha=\dfrac{y}{r}`, 余弦: 比值 `\dfrac{x}{r}` 叫角 `\alpha` 的余弦, 记做 `\cos \alpha`, 即 `\cos~\alpha=\dfrac{x}{r}`, 正切: 比值 `\dfrac{y}{x}` 叫角 `\alpha` 的正切, 记做 `\tan \alpha`, 即 `\tan~\alpha=\dfrac{y}{x}`,  余切: 比值 `\dfrac{x}{y}` 叫角 `\alpha` 的余切, 记做 `\cot \alpha`, 即 `\cot~\alpha=\dfrac{x}{y}`, 正割: 比值 `\dfrac{r}{x}` 叫角 `\alph...
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弧度制

弧度制 角度制 规定周角的 `\frac{1}{360}` 为 `1` 度角, 记作 `1^\circ` . 用"度"做单位来度量角的制度叫做角度制. 弧度制(radian measure) 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 1弧度 的角. 用负号rad表示.,读作弧度.  这种用"弧度"做单位来度量角的制度叫弧度制. 如图,`∠AOB` 的大小即为 `1~rad`. 正角的弧度是正数, 负角的弧度是负数, 零角的弧度为0. 半径为`r`的圆的圆心角`\alpha`所对弧的长度为`l`, 那么, 角`a`的弧度数的绝对值是 `\left | \alpha \right |=\frac {l}{r}`. 弧度与角度的换算 `360^\circ=2 \pi ~ rad`, `180^\circ= \pi ~ rad`, `1^\circ= \frac{\pi}{180} rad  \approx 0.01745 ~rad`, `1 ~rad= \frac{180}{\pi}  \approx 57.30^\circ=57^\circ 18' `. 在度和弧度之间的单位转换时单位...
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角的有关概念

任意角 角的定义:一条射线 `OA` 由原来的位置 `OA`,绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置 `OB`,就形成了角 `α`。其中射线 `OA` 叫角 `α` 的始边,射线 `OB` 叫角 `α` 的终边,`O` 叫角 `α` 的顶点. 角的代数表示: 为了简便起见,在不引起混淆的前提下,“角`α`”或“`∠α`”可以简记作“`α`”。如果`α`是零角,那么`α=0°`. 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角: 按逆时针方向旋转形成的角叫正角(positive angle). 负角: 按顺时针方向旋转形成的角叫负角(negative angle). 零角: 如果一条射线没有做任何旋转, 我们称它为零角(zero angle). 任意角: 任意角包括了正角、负角和零角.即 `角\begin{cases} 正角 \\ 零角 \\ 负角 \end{cases}`. 各角和与角的旋转量的关系 引入正角、负角的概念后, 角的减法运算可以转化为角的加法运算, 即 `α-β` 可以转化为 `α+(-β)`, 这就是说, 各角和的旋转量等...
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三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质 函数 正弦函数 `y=sin~x` 余弦函数 `y=cos~x` 正切函数 `y=tan~x` 余切函数 `y=cot~x` 定义域 `R` `R` `\{ x|x \in R 且 x \neq k \pi + \frac{\pi}{2} , ~ k \in Z\}` `\{ x|x \in R 且 x \neq k \pi , ~ k \in Z\}` 值域 `[-1,~1]` `[-1,~1]` `R` `R` 最值点 最大值: `(2k \pi + \frac{\pi}{2},~1)` 最小值: `(2k \pi + \frac{\pi}{2},~1)(k \in Z)` 最大值: `(2k \pi,~1)` 最小值: `(2k \pi +\pi ,~1)(k \in Z)` 无最大值与最小值 无最大值与最小值 周期 `T=2\pi` `T=2\pi` `T=\pi` `T=\pi` 单调性 增区间: `(2k \pi -\frac{\pi}{2},~2k \pi +\frac{\pi}{2})` 减区间: `(2k \pi + \frac...
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基础自测

诱导公式

下列诱导公式中错误的是( ) A. `\tan(π-\alpha )=-\tan\alpha ` 选择错误. B. `\cos (\frac{\pi}{2}+\alpha)=\sin\alpha` 选择正确. C. `\sin(π+\alpha)=-\sin\alpha` 选择错误. D. `\cos(π-\alpha)=-\cos\alpha` 选择错误.
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【应试技巧】关于sinα±cosα符号快速判断方法

三角函数题目中,经常需要判断sinα±cosα的符号,运气好的话,直接判断sinα和cosα的正负就可判定,运气不好还得判断sinα和cosα的大小。虽然也不怎么麻烦,但是对于一些学生来说还是很麻烦……我们要的,就是一步到位。 1:`sinα+cosα` 的符号判断 若角度所在终边位于直线 `y+x=0` 的上方,则 `sinα+cosα` 为正;若位于 `y+x` 的下方,则 `sinα+cosα` 为负;若位于直线 `y+x` 上,则`sinα+cosα=0`.简称“上正下负”。 2:`sinα-cosα`的符号判断 若角度所在终边位于直线 `y-x=0` 的上方,则 `sinα-cosα` 为正;若位于 `y-x` 的下方,则 `sinα-cosα` 为负;若位于直线 `y-x` 上,则`sinα-cosα=0`.简称“上正下负”。 反正就是“上正下负”。 例题1:已知 `x \in [0,2\pi ],\sqrt{1-sin2x}=sinx-cosx` ,则 `x` 的取值范围是_____________。 解:已知,题目是等价于已知 `sinx-cosx≥0`,求 `x`...
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高中数学课程

64.三角函数图像变换

三角函数图像变换
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63.函数的值域(最值)

思路提示 求三角函数的最值,通常要利用正、余弦函数的有界性,一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理.
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62.2根据条件确定解析式--(2)知性质(如奇偶性、单调性、对称性、最值)求解函数解析式(即`A,w,\phi `的值的确定)

知性质(如奇偶性、单调性、对称性、最值)求解函数解析式(即`A,w,\phi `的值的确定)
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62.1根据条件确定解析式--(1)“知图求式”,即已知三角形函数的部分图像,求函数解析式.

思路提示 已知函数图像求函数`y = A\sin (wx + \phi )(A > 0,w > 0)`的解析式时,常用的解析方法是待定系数法,由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定`w`,由适合解析式点的坐标确定`\phi `,但有图像求得的`y = A\sin (wx + \phi )(A > 0,w > 0)`的解析式一般不唯一,只有限定`\phi `的取值范围,才能得出唯一解,将若干个点代入函数式,可以求得相关特定系数`A,w,\phi `,这里需要注意的是,要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点,并能正式代入式中,依据五点列表法原理,点的序号与式子的关系是:“第一点”(及图像上升时与`x`轴的交点)为`wx + \phi  = 0`;“第二点”(即图像曲线的最高点)为`wx + \phi  = \frac{\pi }{2}`;“第三点”(及图像下降时与轴的交点),为`wx + \phi  = \pi `;“第四点”(及图像曲线的最低点)为`wx + \phi  = \frac{{3\pi }}{2}`;“第五点”(及图像上升时与`x`轴的交点)为`...
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61.5三角函数性质的综合

思路提示 三角函数的性质(如奇偶性、周期性、单调性、对称性)中,尤为重要的是对称性. 因为对称性` \Rightarrow `奇偶性(若函数图像关于坐标原点对称,则函数`f(x)`为奇函数;若函数图像关于`y`轴对称,则函数`f(x)`为偶函数); 对称性` \Rightarrow `周期性(相邻的两条对称轴之间的距离是`\frac{T}{2}`;相邻的对称中心之间的距离为`\frac{T}{2}`;相邻的对称轴与对称中心之间的距离为`\frac{T}{4}`);对称性` \Rightarrow `单调性(在相邻的对称轴之间,函数`f(x)`单调,特殊的,若`f(x) = A\sin (wx),A > 0,w > 0`,函数`f(x)`在`[{\theta _1},{\theta _2}]`上单调,且`0 \in [{\theta _1},{\theta _2}]`,设`\theta  = \max \left\{ {\left| {{\theta _1}} \right|,{\theta _2}} \right\}`,则`\frac{T}{4} \ge \theta `深...
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61.4三角函数的对称性(对称轴、对称中心)

函数的对称性(对称轴、对称中心)
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61.3三角函数的单调性

函数的单调性
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61.2三角函数的周期性

函数的周期性
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60.诱导求值与变形

思路提示 (1)诱导公式用于角的变换,凡遇到与`\frac{\pi }{2}`整数倍角的和差问题可用诱导公式,用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数. (2)通过` \pm 2\pi , \pm \pi , \pm \frac{\pi }{2}`等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数. (3)`\alpha  \pm \beta  =  \pm 2\pi , \pm \pi , \pm \frac{\pi }{2}`等可利用诱导公式把`\alpha ,\beta `的三角函数化.
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59.同角求值-----条件中出现的角和结论中出现的角是相同的

思路提示 1.若已知角的象限条件,先确定所求三角函数的符号,再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值. 2.若无象限条件,一般“弦化切”.
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