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用连分数证明$\sqrt{2}$是无理数

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原标题: $\sqrt{2}$的连分数展开及其无理性

叶卢庆

由于$$\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{1+\sqrt{2}}......(1)$$

因此$$\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{1+1+\cfrac{1}{1+\sqrt{2}}}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\sqrt{2}}}.$$

这样不断地进行下去,可得$$\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}.$$

首先我们来证明表达式$$1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}$$

确实有意义.这化归为如下问题:

问题: 已知$p_{n+1}=\frac{1}{1+p_n}+1$,且$p_1=1$,求证$\lim_{n\to\infty}p_n$存在.

这是简单的不动点迭代问题.容易证明极限是存在的,且极限等于$\sqrt{2}$.

下面我们将这个问题与$\sqrt{2}$的无理性联系起来.我们来证明$\sqrt{2}$是无理数.

反证法: 假设其是有理数$\frac{p}{q}$,其中$p,q$都是正整数且$\frac{p}{q}$既约.由式 (1) 可得$$\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}-1,$$

即$$\frac{p}{q}=\frac{1}{\frac{p}{q}-1}-1,$$

即$$\frac{p}{q}=\frac{2q-p}{p-q}.$$

易得$\frac{2q-p}{p-q}$的分子和分母都是正数,且$p-q<q$,这与$\frac{p}{q}$的既约性矛盾.于是$\sqrt{2}$不是有理数.


 

叶卢庆(1992---),男,杭州师范大学理学院数学与应用数学专业本科在读,E-mail:yeluqingmathematics@gmail.com

来源:http://blog.sciencenet.cn/blog-604208-848917.html