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数学的美妙五线谱:数学符号

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大千世界既可由音乐谱写而成,亦可由数学符号表示而成。五线谱演奏着现实世界的万般情感,而数学公式则表述着客观世界的演化本质。用字母来表示数,这是从算术到代数的飞跃,无论是从公式结构还是数学形式上都变得式简意明、魅力无穷。三角形、平行四边形和梯形等面积公式,形式简洁规整;乘法交换律、结合律以高度抽象与和谐逻辑结构令人叹为观止;勾股定理、二项展开式、平方差公式和微积分公式等言简意赅、精确无比,足以唤起人类的理性美感。

1. 代数学鼻祖——丢番图

代数和算术的最大区别就是引入了未知数,并对其加以运算。虽然在算术中也有未知数,但一切运算只允许对已知数施行。而在代数中既然要对未知数加以运算,就需要用某种符号来表示它。就创设未知数符号、建立代数方程等来看,古希腊数学家丢番图(Diophantus,约246—330)的《算术》应是最早代数著作。

丢番图试图把代数从几何学羁绊中解放出来,并创设了一套数学符号。一个较为复杂的数学式子,若用文字叙述会冗长而含混。故数学符号的发明不仅是代数学的特征之一,也是数学发展史上的一次飞跃。

 

丢番图曾给出求解一次代数方程的方法:若方程两边未知数的幂相同,但系数不同,可由等量减去等量,直到含未知数的一项等于某个数为止。若在方程的一边或两边有减项,则应向两边加上这个项,使两边只有加项。然后需再一次等量减等量,直到得出未知数等于某个数为止。因此丢番图应用了“合并同类项”,“移项”等运算过程。

 

2. 代数学创立——花拉子米

一般认为,现在的“代数学”术语源于阿拉伯数学家花拉子米(Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi,783-850)的著作al-Kitab al-mukhta sar fi hisab al-jabr wa’l-muqabala,该书名直译则为《还原与对消计算概要》(后被译为《代数学》),问世大约于820年。该书可分为三个部分:一次和二次代数方程求解,实用测量术和遗产计算问题。其中第一部分主要给出了一元二次代数方程的一般解法,并有相应的几何证明,以保证其解法的正确性。该部分在12世纪被单独译成拉丁文,成为欧洲大学的教科书,一直延用到17世纪。al-jabr也逐步演化为algebra,并成为书名。而algebra作为学科名称则始于14世纪的欧洲。

在《还原与对消计算概要》中,al-jabr(还原)为:方程式一边的被减量“转移”到另一边,把它变成一个加量,即移项;wa’l -muqabala(化简或对消)为:把一个正项通过同时在方程式两边减去相等量进行简约,即合并同类项。故花拉子米关于方程的讨论已超越传统算术方式,具有明显的代数特征。但其在应用代数符号方面,与丢番图相比稍有逊色。

1853年,英国人伟烈亚力(Alexander Wylie,1815─1887)在上海用中文撰写而成《数学启蒙》,以介绍当时的西方数学。在序言写道:“有代数、微分诸书在,余将续梓之。”这是汉语中第一次使用“代数”术语。1859年,李善兰(1811—1882)和伟烈亚力合译《代微积拾级》,在序中正式使用了“代数”术语:“中法之四元,即西法之代数也。”同年俩人又合译英国数学家德摩根著作Elements of Algebra,并正式定名为《代数学》,这是我国第一部署名“代数学”的著述。

现今不少数学术语都源于李善兰的翻译,如常数、变数、已知数、函数、系数、指数、单项式、多项式、横轴、纵轴、切线、法线、曲线、渐近线、相似等。他把“function”译为“函数”,所给解释为“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”,即“函”为包含之意。李善兰的翻译可谓匠心独运,切贴恰当,不仅在中国流传,而且传到日本、韩国等,沿用至今。

 

3. 符号系统化——韦达

法国数学家韦达( F.Vieta, 1540-1603)于1591年出版的《分析引论》可谓代数学发展的又一个里程碑。该书第一次系统使用了代数字母与数学符号,以辅音字母B,C,D表示已知量,以元音字母A(后用N)表示未知量。韦达认为,代数是施行于“事物类”或形式的运算方法,算术只是同“数字”打交道,仅仅施行于具体数。故而他把符号代数称之“类的算术”,同时规定了算术与代数的分界。  

虽然韦达选用的数学符号尚不够优良,且没有相等、相乘等符号,但其开创之功难以估量(现在用a,b,c表示已知量,x,y,z表示未知量由笛卡儿提出)。当代数学发展成为“关于字母计算、公式变换及解代数方程的科学”时,则已成为研究“一般类型形式和方程”的学问,因其抽象概括而变得应用广泛。这就标志着古典代数学的确立与完善,为代数学的发展开辟了道路。

只有音乐堪与数学媲美。数学的美感在于其简单、和谐、丝丝入扣。数学简洁之美的表现形式之一就是把现实世界的事物以简驭繁、抽象为逻辑符号形式。因此,代数符号成为数学的基本工具,不仅体现了数学的高度抽象与简洁之美,而且有助于高效把握住数学思想。

 

主要参考文献

[1] 李文林.数学史概论[M].北京:高等教育出版社,2004.

[2] 徐传胜,周厚春.数学史讲义概要[M].北京:电子工业出版社,2011.

[3] 梁宗巨,王青建,孙宏安.世界数学通史[M].沈阳:辽宁教育出版社,2001.

[4] 吴文俊.世界著名数学家传记[M].北京:科学出版社,2003.

[5](美)克莱因.古今数学思想[M].张理京等译.上海:上海科学技术出版社,2002.

[6](韩)金容云.有趣的数学旅行[M].杨竹君译.北京:中国城市出版社,2011.

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