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希尔伯特和他的数学问题

我们必须知道;我们必将知道——希尔伯特,此语也是他的墓志铭

每所知名的大学都有它的辉煌时期。辉煌,对应着的是在某学科奇迹般的集中大批天才和他们的丰硕成果;还对应着汇聚在他们周围一大批才华横溢的学生,宛若闪烁的星团。群星中往往有那么几颗亮星,耀耀的光芒更加夺目。具有悠久数学传统的哥廷根大学有两大辉煌时期——高斯(Carolus Fridericus Gauss)时期(19世纪上半叶)和克莱因(Felix Christian Klein)-希尔伯特(David Hilbert)时期(二战前)。

当这些数学巨星走进哥廷根大学,同时也翻开了他们或长或短一生中最华美的篇章。大师是大学的灵魂。在大学小圈子里大师往往不但因为大师的成果而闻名,而且更会因为大师的或有趣、或怪异的个性而为人津津乐道。希尔伯特就是一位个性丰满、趣味盎然的大师。

希尔伯特有一个美满的家庭。好友闵可夫斯基(Hermann Minkowski,1864-1909)——爱因斯坦的老师。在给希尔伯特的一封信中写到:“我也祝贺夫人为所有数学家太太树立了良好的榜样,她将令我们永生难忘。”希尔伯特的许多用来发表的论文是他的夫人克特.希尔伯特用她那特有的隽秀笔迹抄写出的。闵可夫斯基甚至有一次责备希尔伯特在其著作前的鸣谢名单里没提到自己的夫人。

希尔伯特喜欢年轻漂亮的女孩子,他很会说甜言蜜语,经常像个老小孩一样和她们调情、嬉闹。还经常看到他和同事的年轻漂亮的妻子轻快起舞,忘乎所以的时候甚至会在她们的嘴唇上印上一个深深的吻。一次,在他的生日聚会上,他双臂揽着白天为他护理的年轻护士坐在隔壁房间。当有人催他出去听专门为他准备的热情洋溢的贺词时,他说:“我更喜欢呆在这里。”不过,治疗他这个老毛病的猛药还是夫人。

希尔伯特喜欢一边散步一边思考问题,他声称户外是他最好的工作场所。于是,他在邻居的墙上做了一块很大的黑板,为了便于雨天工作,还在黑板前造了个防雨棚。有时候做为工间休息,他会侍弄一下他庭院里的花草。如果有人来找他,女仆会告诉此人,教授不是在黑板前就是在草丛里。

数学家赫克(Erich Hecke,1887-1947)早年间在哥廷根做希尔伯特的助手,尽管这个时期他每月只能挣到微薄的50马克(当时折算12.5美元),但他后来一直认为,给希尔伯特当助手是他一生中最重要的经历。希尔伯特总是惦记着给他的得力助手争取更多一点的薪水,一次希尔伯特和文化部长讨论完大学事物后,总觉得还有什么事没谈到,可是又想不起来了。于是,他打开部长办公室的窗户。对着楼下等待他的夫人喊道:

“卡瑟,卡瑟,我还要给部长说什么事呢?”

“赫克。”希尔伯特夫人应道。

希尔伯特回头对满脸惊奇的部长郑重的提出了给赫克加薪的要求,并得到了落实才离去。

“先生们,我不认为性别是选择教师的标准。毕竟,大学评议会不是公共澡堂。”希尔伯特为埃米.诺特(1882-1935)这位女数学家鸣不平。并以自己的名字列出令后人心酸的广告:

《数学物理讲座,不变量理论》每周一下午4:00_6:00,免费。

埃米.诺特1918年,36岁,犹太人。创立了“诺特定理”从而统一了守恒定理和数学变换的对称性。——有史以来对伟大的女抽象理论家。开始时诺特是个糟糕的讲师,听课的人越来越少,但希尔伯特坚持告诉大家“诺特的思想是伟大的”。诺特不仅仅是个关心学生学业的好老师,她还特别关心学生的生活,想想她是无薪水上课,就更难能可贵了,他的学生被人们称作“诺特的孩子”。

后来成为量子力学开拓者之一的玻恩在哥廷根写毕业论文时,问希尔伯特该如何准备考试的数学部分。希尔伯特很和善地问他,哪一部分最没有把握。玻恩说是“理想理论”。玻恩原以为教授就不会问他这个方面的问题了。可是,考试时希尔伯特提出的所有问题几乎都是围绕着它来提问的。玻恩后来问希尔伯特为什么会这样,教授说,“我只想知道你对一无所知的问题知道多少。”

有人问希尔伯特他认为什么技术最重要,希尔伯特平静的回答:“上月球抓苍蝇。”此人不解问“为什么?”希尔伯特指出,在月球上抓住苍蝇之前,首先要解决相伴随的周边技术,这应该包括当时人类面临的所有技术难题。又一次有人问他,为什么不试试证明费马大定理,这样能赢得10万马克的“达姆斯塔特数学奖。”希尔伯特说:“为什么要去杀死一只会下金蛋的鹅呢?”后来到了第一次世界大战,面对德国指数式增长的通货膨胀,此奖变得一文不值了。

希尔伯特是忠实的“伽利略捍卫者”,当听到有人责难伽利略屈服于教廷而没有坚持科学真理时。希尔伯特气愤地说:“伽利略又不是白痴,只有白痴才相信科学需要殉难者,宗教也许需要,但科学结论到时候会自己确立起来。”

希尔伯特拥有广泛的学习兴趣,他经常去听很多讲座。令一起听讲座的学生吃惊的是,明明一个很简单的问题,希尔伯特都经常反应不过来而打断讲话者问这问那。有时候急得学生赶忙帮讲坛上的那个人解释,以使“为什么先生”能明白最粗浅的道理。希尔伯特每次重大的研究方向的转向,都伴随着他对这个学科分支的从头学起,并依靠自己的一点点思考,给出比原来已有结论更加简明和更丰富的推论。当他的兴趣转向物理学时对别人说:“物理学对于物理学家们来说太难了。”1915年,他比爱因斯坦早五天发表了与广义相对论等价的数学方程。但这没有引起优先权之争,他把广义相对论的全部荣誉都归于爱因斯坦。

希尔伯特还是个热情、动人的演说家。据说,他有个才华横溢的学生给他递交了一份关于黎曼猜想的证明论文。虽然这个证明是错的,希尔伯特还是被这个学生有趣的思路所吸引。第二年这个学生突然疾病死亡了,满怀惋惜之情的教授希望能在葬礼上做一个简短的发言,以慰籍逝者的亲属。他讲话开始时首先表示了悲痛和对死者亲人的慰问之情。然后,话题一转说:“尽管这个学生的证明有错,但如果沿着他的思路走下去,应该会得到更多的成果。令,为复变量z的函数,我们考虑到……”众人皆倒。

希尔伯特虽然是天才的演说家,但却经常被挂在黑板前,面对课程问题而不知所措,哥廷根大牌教授上课喜欢只带少数几页提纲,课程内容当堂推导。每到这时候,他都大度的挥挥手表示,这个问题太容易了不值得浪费时间。好在他的助教都很能干,在课后为他把缺失的那一部分补齐。

希尔伯特说:“有时一个人的宽广胸怀会变得越来越小,当半径趋于零时,他也就萎缩成了一点,而这一点就是他本人的看法。”

有些历史悠久的大学经常要求数学和物理教师互换代课。兴趣广泛的希尔伯特又经常往哥廷根大学物理研究所跑,希望看看有什么有趣的东西值得关注。一天,希尔伯特慌慌张张地冲进数学研究班,对他的数学同事们大嚷:“你们还在这里坐着谈论琐碎的小问题!我刚从物理研究所过来,人家正在做伟大的事情呢!”那是1925年,在物理研究所玻恩和海森堡正在教授量子力学。

1902年柏林大学的福克斯去世,大学有意让希尔伯特接替这一职务。这个消息传到了希尔伯特学生们的耳朵里,大家都惴惴不安的期望得到教授明确的回答。而希尔伯特好像对这个去留问题不置可否。但学生们明显感觉教授上课不如以前用心了,还经常迟到。这期间他还频繁地去柏林。种种迹象表明,希尔伯特要离开哥廷根了。哥廷根大学为了挽留希尔伯特做了最大的努力并表示出极大诚意。希尔伯特开出留下来的条件是:增设一个数学教习。就这样教授利用了狡猾的外交手段为学生们请来了天才的闵可夫斯基。

好友闵可夫斯基(Hermann Minkowski,1864-1909)突然感到阑尾疼得很厉害,到晚上才发现需要动手术。第二天情况更加恶化。他知道自己没希望了。他想对希尔伯特表示对自己糟糕命运的遗憾,因为他原想做更多的事情。他还想到自己不能听希尔伯特在即将开始的数学讲习班讲华林(Waring)问题的课了。1909年1月12日,星期二,中午,闵可夫斯基想见家人和希尔伯特。希尔伯特赶到医院时,温柔敦厚的闵可夫斯基已经离开了人世。

希尔伯特的数学课是向学生们展示了“活”的数学,教授不是特别注重学生的天赋,而是强调里希登堡的名言,“天才就是勤奋”。在学生心目中,“希尔伯特就像一位穿杂色衣服的风笛手,用甜蜜的笛声引诱一大群老鼠跟着他走进数学的深河。”

希尔伯特憎恶一切政治的、种族的和传统的偏见,并身体力行的与之抗争。希尔伯特公开指责第一次世界大战时德国政府为战争辩护的“宣言”,并拒绝签字,为此他受到了很多爱国者的责难。爱因斯坦也没有签字,但因为爱因斯坦当时是瑞士国籍,所以没受到太多的冲击。到二战时希尔伯特毫不隐瞒自己对希特勒的“排犹运动”得愤慨。眼看着一个个天才的犹太数学家纷纷离开哥廷根,当纳粹教育教育部长问他哥廷根大学数学情况时,希尔伯特大叫:“数学?哥廷根已经没有数学了!”

希尔伯特问题

1900年希尔伯特在巴黎第二届国际数学家代表大会上提出了23个数学问题,后来被称作“希尔伯特问题”,这些问题列出了当是数学界亟需解决的问题,并激发了数学家们的热情和想象力。此后,这些问题几乎成了检阅数学重大成就的指标。希尔伯特去世(1943年)后,德国《自然》杂志发表了这样的观点:“现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大,整个数学版图上,留下了他那显赫的名字。”为了表示对这个数学伟人跨越时空的敬意,我们列出“希尔伯特问题”如下:

  1. 连续统假设
  2. 算数公理的相容性
  3. 两等高等底的四面体之体积相等
  4. 直线作为两点间最短距离问题
  5. 不定义群的函数的可微性假设的李群概念
  6. 物理公里的数学处理
  7. 某些数的无理性与超越性
  8. 素数问题
  9. 任意数域中最一般的互反律之证明
  10. 丢番都方程可解性判别
  11. 系数为任意代数数的二次型
  12. 阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数有理域
  13. 不可能用只有两个变量的函数解一般七次方程
  14. 证明某类完全函数系的有限性。
  15. 舒伯特计数演算的严格基础
  16. 代数曲线与曲面的拓扑
  17. 正定形式的平方表示式
  18. 有权等多面体构造空间
  19. 正则变分问题的解释是否一定解析
  20. 一般边值问题
  21. 具有给定单值群的线性微分方程的存在性
  22. 解析关系的单值化
  23. 变分法进一步发展

这里我们不准备对“希尔伯特问题”做全面专业性评述(也超出了本文作者的能力水平,有兴趣可以参看专业网站内容),我们只大约介绍几个关于“希尔伯特问题”的有趣话题。

这些问题中第2个和第10个问题后来影响最大。它不仅仅是数学内部的问题,而是数学大厦基础的问题:数学能证明什么?

这个问题分为三部分。

第一、数学是不是完备的?也就是说,是不是所有数学命题都可以用一组有限的公理证明(或证否)。例如,“三角形内角和是180°”命题,任何上过初中几何的人都知道,用平行公理很容易证明。关键是:是不是存在某个公理系统(条条可以很多,但要有限),能证明所有数学真命题。

第二、数学是不是一致的?换句话说,是不是可以证明的都是真命题?如果要是有谁能证明出1+1=3,那对数学整个体系来说可就麻烦大了!

第三、是不是所有命题都是数学可判定的?也就是说,有限而明确的数学步骤能告诉我们所有命题的真假吗?这就是有名的“判定问题”。

希尔伯特本人很有信心,正如本文开篇语一样,他断言:“不存在不可解的问题”。然而,这个乐观的结论非常短命,在此断言发出的同一个会议里,25岁的天才哥德尔用优美的证明告诉大家“如果数学是一致的,那么它就是不完备的。”这一证明对数学界来说无疑是颠覆性的,“数学丧失了它那原有的孤傲的确定性!”人们脑海中不禁会产生一个深刻的哲学问题:“丧失确定性的数学还能用来描述这个世界吗?”不过,进入上世纪60年代后,数学渐渐恢复了元气,数学的信心重建很大程度上来自于物理学。物理学家告诉数学家,“用丧失确定性的数学来描述这个世界目前还没发现不相容的情况。”

“希尔伯特问题”最先得到解决的是第3个问题,希尔伯特的学生,22岁的德恩,在问题提出当年已经部分解决了这个问题,第二年此问题完全解决,是“希尔伯特问题荣誉家族的第一人”。

和其他预言家一样,希尔伯特也具有蹩脚预言的本领,希尔伯特在1920年的一次演讲中为举例说明,“有的问题看似简单,实际非常困难”。他举的例子是,黎曼猜想、费马大定理、和的超越性。他说:“我也许能活着看到黎曼猜想的解决;如果在座的同学活得足够长或许能看到费马大定理的解决;但和的超越性证明我们所有人都无望看到。”23岁的西格尔听了教授的演讲后,用了10年,利用俄罗斯数学家盖尔丰德的某些关于超越性研究工作的成果,一举证明了的超越性。而费马大定理直到1995年才被英国数学家怀尔斯证明。黎曼猜想至今仍没有解决。(来源: scipark.net/archives/3664)