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【应试技巧】关于sinα±cosα符号快速判断方法

三角函数题目中,经常需要判断sinα±cosα的符号,运气好的话,直接判断sinα和cosα的正负就可判定,运气不好还得判断sinα和cosα的大小。虽然也不怎么麻烦,但是对于一些学生来说还是很麻烦……我们要的,就是一步到位。

1:`sinα+cosα` 的符号判断

若角度所在终边位于直线 `y+x=0` 的上方,则 `sinα+cosα` 为正;若位于 `y+x` 的下方,则 `sinα+cosα` 为负;若位于直线 `y+x` 上,则`sinα+cosα=0`.简称“上正下负”。

2:`sinα-cosα`的符号判断

若角度所在终边位于直线 `y-x=0` 的上方,则 `sinα-cosα` 为正;若位于 `y-x` 的下方,则 `sinα-cosα` 为负;若位于直线 `y-x` 上,则`sinα-cosα=0`.简称“上正下负”。

反正就是“上正下负”。

例题1:已知 `x \in [0,2\pi ],\sqrt{1-sin2x}=sinx-cosx` ,则 `x` 的取值范围是_____________。

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解:已知,题目是等价于已知 `sinx-cosx≥0`,求 `x` 的范围。如上图所示,根据方法2,可知x的的终边就在图中箭头所指区域,故 `x\in [\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}]`

例题2:已知 `\alpha \in [\frac{3\pi }{2},2\pi ]`,化简 `\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2\alpha }}`.

解:`\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2\alpha }}=\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{sin^{2}\alpha }}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sin\alpha }`(因为 `\alpha \in [\frac{3\pi }{2},2\pi ]` 哟)

`=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{(sin\frac{\alpha }{2}+cos\frac{\alpha }{2})^{2}}`

因为 `\alpha \in [\frac{3\pi }{2},2\pi ]`,所以 `\frac{\alpha }{2}\in [\frac{3\pi }{4},\pi ]`,如下图所示:

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根据方法1可知,`sin\frac{\alpha }{2}+cos\frac{\alpha}{2}\leqslant 0`,所以原式`=-\frac{\sqrt{2}}{2}(sin\frac{\alpha }{2}+cos\frac{\alpha }{2})=-sin(\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{4})`

(来源:http://xuefuzi.com/archives/569.html)