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拓扑趣谈(2)欧拉示性数与闭曲面分类

拓扑趣谈(2)欧拉示性数与闭曲面分类

1、欧拉示性数

[ 多面形的欧拉示性数]

在立体几何中大家学过:由若干平面多边形所围成的封闭的立体称为多面体。多面体的表面称为多面形;多面体的面、顶点和棱也叫多面形的面、顶点和棱。当多面形在它的每一个面所决定平面的同一侧,就称它为凸多面形。

用字母 P 表示一个多面形。类同于上一节,用 V、F、E 分别表示 P 顶点的个数、面的个数和棱的个数,则由

\(X(P)=V + F - E\)

所确定整数,称为多面形 P 的欧拉示性数。

一个凸多面形的欧拉示性数可以粗略地采用以下的方法推出:

把一个立体图形的表面,摊成一个平面图形。设想多面体的表面是一层伸缩自如的橡皮膜,而多面体的内部则是中空的。现在从

拓扑 成长吧啊 拓扑 成长吧啊

它的一个面上把橡皮膜穿开一个洞,然后把手指插进洞里;并用力向四周拉伸,直至摊成平面。上图形象地表现了把一个正方体表面摊开的过程。摊开后的平面图形中最外面不整齐的边界实际上就是洞的轮廓。如果我们把图形的外部区域,整个地看成开洞的面,并将弧线修整成顺眼的样子,即得上图右边那样的图,称为正方体的平面拓扑图。其他的多面体或立体图形,也可以类似地得到相应的平面拓扑图,从而把立体表面的问题化为平面上的问题加以解决。

由平面网络的欧拉公式即得多面体表面的欧拉示性数

\(X(P)=V + F - E = 2\)

[ 笛卡尔的证明:]

严格证明多面形的欧拉公式,有许许多多的方法。 这里介绍的证法,基本上属于笛卡儿。我们即所以介绍它,除了历史久远之外,还在于人们从这个证明中所获取的东西,似乎大大超过了所得结论的本身!

大约在欧拉发现网络公式的前120年,即公元1630年,法国数学家笛卡儿以其非凡的思考,写下了一则关于多面体理论的文章。1650年,笛卡儿在斯德哥尔摩病逝之后,这份手稿遂为其友克勒鲁斯里尼所珍藏。公元1675年,莱布尼茨有幸在巴黎看到这份手稿,并用拉丁文抄录了其中的一些重要部分。此后,笛卡儿的遗稿遗失,人们只好找出莱布尼茨的抄本,再译回法文正式出版。

笛卡儿的手稿,实际上是用完全不同的方法推出了

`X(P)=V + F - E =  2`

为了弄清这位解析几何创始人不同凡响的思路,我们还得从立体角的概念讲起。拓扑 成长吧啊

所谓立体角,是指在一点所作的3个或3个以上不同平面的平面角所围成的空间部分。立体角的大小,由立体角在以角顶为球心的单位球面上截下的球面多边形的面积来度量。右图的立体角大小,即以球面三角形ABC的面积来度量。容易证明,图中阴影面积为

${\sigma _1} = {\alpha } + {\beta} + {\gamma } - \pi $

事实上如左下图,在单位球O上,大圆弧AB、BC、AC所在的大圆,把半球面分为 1234 四个部分。图中的 A、A’和 B、B’显然是两组径对点。通过简单计算可知,以上四个部分的面积 ${\sigma _1}~,{\sigma _2}~,{\sigma _3}$ 和 ${\sigma _4}$满足

\(\left\{ \begin{array}{l} {\sigma _1}_{}{ + _{}}{\sigma _3}_{}{ = _{}}{\frac{\beta }{{2\pi }}_{}}{ \cdot _{}}4{\pi _{}}{ = _{}}2\beta \\ {\sigma _1}_{}{ + _{}}{\sigma _4}_{}{ = _{}}{\frac{\alpha }{{2\pi }}_{}}{ \cdot _{}}4{\pi _{}}{ = _{}}2\alpha \\ {\sigma _1}_{}{ + _{}}{\sigma _2}_{}{ = _{}}{\frac{\gamma }{{2\pi }}_{}}{ \cdot _{}}4{\pi _{}}{ = _{}}2\gamma \\ {\sigma _1}_{}{ + _{}}{\sigma _2}_{}{ + _{}}{\sigma _3}{ + _{}}{\sigma _4}_{}{ = _{}}2\pi \end{array} \right.\)拓扑 成长吧啊

       

与平面几何中求一个角的补角类似,一个立体角的补立体角可以这样得到:如右下图,在已知立体角 `O—ABC` 内部取一点  `O’`,由 `O’` 向各个面引垂线  `O’A’`、`O’B’`、`O’C’`,则立体角 `O’—A’B’C `即为立体角 `O—ABC` 的补立体角。

由右图容易看出,补立体角的3个面角 `a’、b’、c’` 分别与`\alpha,~ \beta ,~\gamma `互补。从而,原立体角 `O—ABC` 的大小可以表示为:

拓扑 成长吧啊

\(\begin{array}{l} {\sigma _1} &= \alpha+ \beta + \gamma - \pi \\ &= (\pi - a') + (\pi - b') + (\pi - c') - \pi \\ &= 2\pi-a'+b' + c') \end{array}\)

同理,补立体角 `O’—A’B’C’` 的大小可以表为

\(\sigma _1' = 2\pi -(a +b+ c)\)

上式中的 a、b、c 为原立体角 `O—ABC` 的各个面角。

我想读者都知道,一个平面凸多边形的外角和等于 $2\pi $,即所有内角的补角的和等于 $2\pi $。那么,对于空间的凸多面体,所有顶点立体角的补立体角之和,是否也有类似的关系呢?为此,我们从多面体内部的一点O向多面体的各个面引垂线。从左图不难看出:多面体所有顶点立体角的补立体角,恰好占据了O点周围的全部空间!因而,其总和应等于单位球球面的面积,即 $4\pi $。

下面我们回到笛卡儿的思路上来。令多面体的顶点数为V,面数为F,第i个面的内角个数(也即边数)为 ${n_i}$ 。则所有内角的个数 p为

\({p_{}}{ = _{}}{n_1}_{}{ + _{}}{n_2}_{}{ + _{}}{..._{}}{ + _{}}{n_F}\)

再用 $\sum $ 表示所有面的内角和,于是根据上面讲过的多面体补立体角之和为 $4\pi $ 的结论知

\(4{\pi _{}}{ = _{}}2\pi \cdot {V_{}}{ - _{}}\sum \)

    又第 $i$ 个面的内角和为 \({{(_{}}{n_i} - {2_{}})_{}}\pi \),从而 F 个面的全部内角相加得:

\(\begin{array}{l} \sum = ({n_1} - 2)\pi + ({n_2} - 2)\pi + ... + ({n_F} - 2)\pi \\ = ({n_1} + {n_2} + ... + {n_F})\pi - 2\pi F\\ = \pi p - 2\pi F \end{array}\)

代人上式可得

\(\begin{array}{l} 4\pi = 2\pi V - (\pi p - 2\pi F)\\ p = 2(V + F) - 4 \end{array}\)

这,就是笛卡儿留给后人的结果!

笛卡儿的公式离欧拉公式实际上只有一步之遥。接下去只要令多面体的棱数为E,则多面体各个面的内角总数恰为棱数的两倍,即 \(p = 2E\) ,从而  \(2E = 2V + 2F – 4 \),立得:

\(V + F – E = 2\)

[ 五种正多面体:]

欧拉公式的一个简单应用是:论证正多面体只有5种。实际上,假定正多面体的每个面都是正 p 边形,而每个顶点都交汇着q条棱,这样我们有

\(\left\{ \begin{array}{l} qV = 2E\\ pF = 2E \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} V = 2E/q\\ F = 2E/p \end{array} \right.\)

代入欧拉公式并约简得:

\(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2} + \frac{1}{E}\)

注意到 \(E \ge 6\),上述方程只能有以下5种正整数解:

欧拉公式 成长吧啊

下面是相应于它们的立体图。

拓扑 成长吧啊

 

[ 环面的欧拉示性数:]

从拓扑观点看,多面形的欧拉示性数与球面多面形的欧拉示性数没什么不一样。因为球面多面形可以看成是由橡皮膜做成的多面形,由内部充气而成。也就是说,\(V + F - E = 2\) 里的“2”,对于球面是个常量。即球面的欧拉示性数也为 2 。

那么,在环面上情况又将如何呢?让我们看一看球面与环面究竟有什么联系。成长吧啊

一个环面是可以用以下方法变为球面的:把环面纵向剪断,成为两端开口的筒形。现在用两个面(下图中阴影部分)把开口圆筒的两头封起来,变为闭口圆筒;然后给它充气,使它膨胀成球状。只是球面的上头有两块像人脸上眼睛那样的区域,是原先环面所没有的。

成长吧啊成长吧啊

因此,一个环面上的连通网络,在变为充气球面上的连通网络时网络的顶点数和弧线数没有改变,区域数则多了两个。从而,对于环面上的连通网络而言,其顶点数与区域数F和弧线数E之间有

\(X(P)=V + F - E = 0\)

这就是说,环面上的欧拉示性数为0。

[ 具有环柄的球面:]

如下图,环面上的两个简单闭曲线 C和C’,把环面分成两块(图a);经过橡皮变形,把其中一块变成挖了两个洞的球面,把另一块变成弯曲的环柄,就得到下图(b)的图形,后者称为具有一个环

成长吧啊

柄的球面,记为 ${S_1}$。因为环面能经过拓扑变换变成上图b的图形,所以环面也称作具有一个环柄的球面。

同样地,如果在球面上挖了 g(> 0) 对小洞,再沿着每对小洞的边安装上一个环柄,我们就得到一个具有 g 个环柄的球面 ${S_g}$。上图 (c) 是具有两个环柄的球面 ${S_2}$。为了以后的方便,我们把球面看成具有零个环柄的球面,记为 ${S_0}$。

观察一个绷在具有 g 个环柄的球面 ${S_g}$ 上的闭多面形P,让环柄与球面的g对界线\({C_1},C_1';{C_2},C_2';...;{C_g},C_g'\) 作为P的简单闭折线。现在把 ${S_g}$ 看成是由若干环柄(视为把它拆下),和一个挖了 g 对小洞的球面组成。前者每个上面都有两个洞,所以其欧拉示性数各各为0;后者欧拉示性数显然为 2 - 2g 。P可以看成是这两部分沿着边缘重复粘合起来得到的。又由于每个边缘都是简单闭折线,它的欧拉示性数是零,所以总起来,绷在 ${S_g}$ 上的任一闭多面形P的欧拉示性数是2 - 2g,即:

\(X(P)=V + F - E = 2(1- g)\)

上式中的g ,在拓扑学中称为曲面 ${S_g}$ 的“亏格”,它表示 ${S_g}$ 上环柄的个数。

2、具有交叉帽的球面

[ 莫比乌斯带]

在《奇异的莫比乌斯带》模块里,想必读者已经领略到那种单侧曲面的特有风采。为了让没有学过该模块的同学也能听懂本节下面的内容,这里我们用最简要的笔触,复述一下什么是莫比乌斯带:

成长吧啊

 

拿来一张白色长纸条,把一面涂成黑色,然后把其中一端翻一个身,如同上图那样粘起来,就成了一个莫比乌斯带。莫比乌斯带在拓扑学中又称“交叉帽”。这样的纸带不同于普通的双面纸带,这样的纸带只有一个面(即单侧曲面)和一条边,一只苍蝇可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。

莫比乌斯带除曲面的单侧性之外,还有一个非常重要的性质,即不可定向性。如果一个人在莫比乌斯带上行走,整个地走一圈,你惊奇地发现,他不像通常人们在球面上那样,绕一圈正好回到出

发的地点,就好像什么事也没发生一样,而是变换到他自已相反的指向,即“颠倒”地回到原位。具有类同于莫比乌斯带上述特性的曲面,拓扑学上称为“不可定向”的曲面。成长吧啊

另一种单侧的不可定向曲面叫“克莱因瓶”,它的形象我们在前面讲第一节时已经提到过。在《奇异的莫比乌斯带》模块中介绍过,“克莱因瓶”(右图)是由两个莫比乌斯带沿边缘缝合而成。

 

[ 具有交叉帽的球面]

现在设想有一个挖了一个洞的球面和一个交叉帽。由于洞有一个边沿,而交叉帽也只有一个边沿,所以可以经过橡皮变形使洞的边沿与交叉帽的边沿长度相等,从而可使两个边沿完全粘合起来,所得到的图形就叫做,具有一个交叉帽的球面 ${Q_1}$(如右下图)。同样地,对一个挖了k ( k > 0 )个洞的球面,沿着每个洞的边沿安装一个交叉帽,就得到一个具有k个交叉帽的球面 ${Q_k}$。

成长吧啊很明显,由于交叉帽的单侧性,所以具有k个交叉帽的球面 ${Q_k}$,也是单侧曲面。

用“具有环柄的球面”所用的相同的方法,可以证明:绷在 ${Q_k}$上的任一闭多面形P的欧拉示性数是 2 – k,即

\(X(P)=V + F - E = 2 – k\)

上式中的k ,也称为曲面 ${Q_k}$ 的“亏格”,它表示 ${Q_k}$ 上交叉帽的个数。

3 闭曲面的拓扑分类

前面我们已经见到了两大类的闭曲面:一类是具有 g 个环柄的球面 ${S_g}$,另一类是具有k个交叉帽的球面 ${Q_k}$;前者是双侧可定向的,后者是单侧不可定向的;可以说两者之间泾渭分明。现在产生了一个问题:即如若一个球面上既接有环柄,又安有交叉帽,那么所得的曲面是可定向呢?还是不可定向?

结论是肯定的!即所得为不可定向的曲面。为说明方便,我们假定球面上同时具有一个环柄和一个交叉帽。假定环柄与球面的接缝为C、C’。缩小C、C’中的一个,然后将其沿交叉帽(莫比乌斯带)转移,并在莫比乌斯带上绕一圈,使其逆转定向,最后返回球面。现在的环柄变成了一个内缝的克莱因瓶,它是由两个莫比乌斯带沿其边缘缝合而成。加上原先的一个交叉帽,得到的是一个具有3个交叉帽的球面,因而是单侧而不可定向的。

拓扑学的一个主要目的,就是试图对所有的拓扑空间进行分类。就闭曲面而言,分类问题归结为提供一个原则,使得每个闭曲面都能归属于分类原则中的一个曲面,而且只属于一个曲面。

现在我们可以用前面学过的知识,对空间的闭曲面进行拓扑分类。可以证明:任何的闭曲面都可以通过拓扑变形,转化为等价的具有 g 个环柄的球面 ${S_g}$,或具有k个交叉帽的球面  ${Q_k}$。一般地,我们有以下

[ 关于闭曲面的分类定理 ]

a.每个可定向的闭曲面,拓扑等价于一个具有确定个数(g > 0)环柄的球面;

b.每个不可定向的闭曲面,拓扑等价于一个具有确定个数(k > l)交叉帽的球面。

下面展示的是一组空间曲面,大家可以运用上面的分类定理,对它们进行分类:

明眼的人可能已经看出,其中有一些是拓扑等价的。例如,轮胎与三叶形管都拓扑等价于环面,从而拓扑等价于有一个环柄的球面,这一点大概不是人人都能洞悉。

成长吧啊       

在“捏橡皮泥的科学”一节,我们已经看到,曲面的扭曲或打结的方式并不是曲面自身的内蕴拓扑性质,而是有赖于曲面是怎样被嵌入到周围的空间中的。但是“洞”却是在拓扑变换下保持不变的性质!

另有一种虽说不尽严密,但却很实用的分类法:即看一个图形需要切几刀才能变为像球那样的简单闭曲面。例如,一个环面需要切一刀才能变换为球面,而下面这两个图形则需切两刀才能变换为球面。数学家们正是根据这种需要切的刀数,以及曲面的单侧性和

成长吧啊 拓扑

双侧性对图形进行分类的。上面这两个迥然相异的图形,在拓扑学中竟然属于同一类,这大概是许多人万万没有料到的。

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