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2011年浙江高考理数

数学题库

高中数学

1. 设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-x, & x\le 0, \\ x^2, & x>0 . \end{array}\right.$ 若 $f(a)=4$, 则实数 $a=$ A. $-4$ 或 $-2$ B. $-4$ 或 $2$ C. $-2$ 或 $4$ D....
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2. 把复数 $z$ 的共轭复数记作, $\mathrm i$ 为虚数单位. 若 $z=1+\mathrm i$, 则$(1+z)\cdot\overline{z}=$ A. $3-\mathrm i$ B. $3+\mathrm i$ C. $1+3\mathrm i$ D. $3$
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3. 若某几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的直观图可以是 A. B. C. D.
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4. 下列命题中错误的是 A. 如果平面 $\alpha\bot $ 平面 $\beta$ , 那么平面 $\alpha$ 内一定存在直线平行于平面 $\beta$ B. 如果平面 $\alpha$ 不垂直于平面 $\beta$ , 那么平面 $\alpha$ 内一定不存在直线垂直于平面 $\beta$ C. 如果平面 $\alpha\bot$ 平面 $\gamma$ ,平面 $\beta\bot$ 平面 $\gamma , \alpha\cap\beta=l$, 那么 $l\bot$ 平...
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5. 设实数 $x, y$ 满足不等式组 $\begin{cases} x+2y-5>0 \\ 2x+y-7>0 \\ x\ge0, y\ge0. \end{cases}$, 若 $x, y$ 为整数, 则 $3x+4y$ 的最小值是 A. $14$ B. $16$ C. $17$ D. $19$...
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6. 若 $0< \alpha <\dfrac{\pi}{2}$, $ -\dfrac{\pi}{2} <\beta<0$, $\cos(\dfrac{\pi}{4}+\alpha)=\dfrac{1}{3}$, $\cos(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2})=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, 则 $\cos(\alpha+\dfrac{\beta}{2})=$ . A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ B. $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$...
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7. 若 $a, b$ 为实数, 则“$0< ab< 1$”是“$a< \frac{1}{b}$”或“$ b> \frac{1}{a}$”的 . A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
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8. 已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1~(a> b > 0)$ 与双曲线 $C_2:x^2-\dfrac{y^2}{4}=1$ 有公共的焦点, $C_2$ 的一条渐近线与以 $C_1$ 的长轴为直径的圆相交于 $A,B$ 两点. 若 $C_1$ 恰好将线段 $AB$ 三等分, 则 A. $a^2=\dfrac{13}{2}$ B. $a^2=13$ C. $b^2=\dfrac{1}{2}$...
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9. 有 $5$ 本不同的书, 其中语文书 $2$ 本, 数学书 $2$ 本, 物理书 $1$ 本. 若将其随机地并排摆放到书架的同一层上, 则同一科目的书都不相邻的概率是 A. $\dfrac{1}{5}$ B. $\dfrac{2}{5}$ C. $\dfrac{3}{5}$ D. $\dfrac{4}{5}$...
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10. 设 $a, b, c$ 为实数, $f(x)=(x+a)(x^2+bx+c)$, $g(x)=(ax+1)(cx^2+bx+1)$. 记集合 $S=\{x|f(x)=0, x\in \textbf{R}\}$, $T=\{x|g(x)=0, x\in \textbf{R}\}$. 若$|S|, |T|$ 分别为集合 $S, T$ 的元素个数, 则下列结论不可能的是 A. $|S|=1$ 且 $|T|=0$ B. $|S|=1$ 且 $|T|=1$ C. $|S|=2$ 且 $|T|=2$...
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11. 若函数 $f(x)=x^2-|x+a|$ 为偶函数, 则实数 $a=$ .
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12. 若某程序框图如图所示, 则该程序运行后输出的 $k$ 的值是
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13. 若二项式 $(x-\dfrac{a}{\sqrt{x}})^6~(a>0)$ 的展开式中 $x^3$ 的系数为 $A$, 常数项为 $B$, 若 $B=4A$, 则 $a$ 的值是 .
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14. 若平面向量 $\overrightarrow \alpha,\overrightarrow \beta$ 满足 $|\overrightarrow \alpha|=1, |\overrightarrow \beta|\le 1$, 且以向量 $\overrightarrow \alpha, \overrightarrow \beta$ 为邻边的平行四边形的面积为 $\dfrac{1}{2}$, 则 $\overrightarrow \alpha$ 与 $\overrightarrow \beta$ 的夹角 $\theta$ 的取值范围是 .
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15. 某毕业生参加人才招聘会, 分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历. 假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 $\dfrac{2}{3}$, 得到乙、丙两公司面试的概率均为 $p$, 且三个公司是否让其面试是相互独立的. 记 $X$ 为该毕业生得到面试的公司个数. 若 $P(X=0)=\dfrac{1}{12}$, 则随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)=$
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16.最大值

16. 设 $x, y$ 为实数, 若 $4x^2+y^2+xy=1$, 则 $2x+y$ 的最大值是                .
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17. 设 $F_1,F_2$ 分别为椭圆 $\dfrac{x^2}{3}+y^2=1$ 的左、右焦点, 点 $A,B$ 在椭圆上. 若 $\overrightarrow{F_1A}=5\overrightarrow{F_2B}$, 则点 $A$ 的坐标是
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18. 在 $\triangle ABC$ 中, 角 $A, B, C, $ 所对的边分别为 $a, b, c$. 已知 $\sin A+\sin C=p\sin B~(p\in \textbf{R})$, 且 $ac= \dfrac{1}{4}b^2$. (Ⅰ) 当 $p=\dfrac{5}{4}$, $b=1$ 时, 求 $a, c$ 的值; (Ⅱ) 若角 $B$ 为锐角, 求 $p$ 的取值范围.
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19. 已知公差不为 $0$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1$ 为 $a~(a\in \textbf{R})$. 设数列的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $\dfrac{1}{a_1},\dfrac{1}{a_2},\dfrac{1}{a_4}$ 成等比数列.  (Ⅰ) 求数列$\{a_n\}$ 的通项公式及 $S_n$;  (Ⅱ) 记 $A_n=\dfrac{1}{S_1}+\dfrac{1}{S_2}+\dfrac{1}{S_3}+\cdots+\dfrac{1}{S_n}$, $B_n= \dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_{2^2}}+\cdots+\dfrac{1}{a_{2^{n-1}}}$, 当 $n\ge 2$ 时, 试比较 $A_n$ 与 $B_n$ 的大小.
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20. 如图, 在三棱锥 $P-ABC$ 中, $AB=AC$, $D$ 为 $BC$ 的中点, $PO\bot$ 平面 $ABC$, 垂足 $O$ 落在线段 $AD$ 上, 已知 $BC=8$, $PO=4$, $AO=3$, $OD=2$. (Ⅰ) 证明: $AP\bot BC$;  (Ⅱ) 在线段 $AP$ 上是否存在点 $M$, 使得二面角 $A-MC-B$ 为直二面角? 若存在, 求出 $AM$ 的长; 若不存在, 请说明理由.
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